Calculadora de progresión geométrica: qué es y cuándo se usa
La progresión geométrica es una secuencia numérica en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un factor constante llamado razón (r). Esta calculadora permite hallar el término n-ésimo (aₙ) y la suma de los primeros n términos (Sₙ) a partir del primer término (a₁), la razón (r) y el número de términos (n).
Se utiliza en matemáticas, física e ingeniería para modelos que involucran crecimiento o decrecimiento exponencial. Por ejemplo, cálculos de interés compuesto, poblaciones biológicas o señales eléctricas.
La calculadora aplica las fórmulas:
- Término n-ésimo: \( aₙ = a₁ \cdot r^{n−1} \)
- Suma de los primeros n términos:
- Si \( r ≠ 1 \): \( Sₙ = a₁ \cdot (rⁿ − 1) / (r − 1) \) - Si \( r = 1 \): \( Sₙ = n \cdot a₁ \)
Cómo se calcula la progresión geométrica: fórmula y pasos
Para calcular el término n-ésimo (aₙ) y la suma de los primeros n términos (Sₙ) en una progresión geométrica, sigue estos pasos:
- Introduce el primer término (a₁).
- Introduce la razón (r), que es el factor por el cual se multiplica cada término para obtener el siguiente.
- Introduce el número de términos (n) que deseas calcular.
- Aplica las fórmulas:
- \( aₙ = a₁ \cdot r^{n−1} \) - Si \( r ≠ 1 \): \( Sₙ = a₁ \cdot (rⁿ − 1) / (r − 1) \) - Si \( r = 1 \): \( Sₙ = n \cdot a₁ \)
Ejemplo 1: Progresión con razón no igual a 1
Datos: a₁ = 3, r = 2, n = 5.
- Término n-ésimo (a₅) = 3 · 2^(5−1) = 3 · 16 = 48.
- Suma de los primeros 5 términos (S₅) = 3 · (2⁵ − 1) / (2 − 1) = 3 · 31 / 1 = 93.
Ejemplo 2: Progresión con razón igual a 1
Datos: a₁ = 4, r = 1, n = 6.
- Término n-ésimo (a₆) = 4 · 1^(6−1) = 4 · 1 = 4.
- Suma de los primeros 6 términos (S₆) = 6 · 4 = 24.
Casos prácticos de progresión geométrica
Caso 1: Cálculo de interés compuesto
Situación: María invierte 1.000 € a un interés del 5 % anual compuesto. Datos: a₁ = 1.000, r = 1,05, n = 3.
- Término n-ésimo (a₃) = 1.000 · 1,05^(3−1) = 1.000 · 1,1025 = 1.102,50 €.
- Suma de los primeros 3 términos (S₃) = 1.000 · (1,05³ − 1) / (1,05 − 1) = 1.000 · 0,1525 / 0,05 = 3.050 €.
Caso 2: Crecimiento poblacional
Situación: Una población de bacterias se duplica cada hora. Datos: a₁ = 100, r = 2, n = 4.
- Término n-ésimo (a₄) = 100 · 2^(4−1) = 100 · 8 = 800 bacterias.
- Suma de las primeras 4 horas (S₄) = 100 · (2⁴ − 1) / (2 − 1) = 100 · 15 / 1 = 1.500 bacterias.
Caso 3: Decaimiento radiactivo
Situación: Una sustancia radiactiva pierde la mitad de su masa cada 5 años. Datos: a₁ = 200, r = 0,5, n = 10.
- Término n-ésimo (a₁₀) = 200 · 0,5^(10−1) = 200 · 0,001953125 ≈ 0,39 g.
- Suma de los primeros 10 períodos (S₁₀) = 200 · (0,5¹⁰ − 1) / (0,5 − 1) = 200 · (−0,999023438) / (−0,5) ≈ 399,61 g.
Errores comunes al calcular la progresión geométrica
- Usar la fórmula incorrecta para r = 1: La suma de los términos cuando r = 1 es \( Sₙ = n \cdot a₁ \), no la fórmula general.
- Confundir el índice del término: El término n-ésimo se calcula como \( aₙ = a₁ \cdot r^{n−1} \), no \( aₙ = a₁ \cdot r^n \).
- No verificar si r ≠ 1: La fórmula de la suma cambia según el valor de r. Si r = 1, se usa una fórmula diferente.
- Redondear prematuramente: Realizar cálculos intermedios con precisión para evitar errores de redondeo en los resultados finales.