Qué es el determinante de una matriz y para qué sirve
El determinante es un número que se calcula a partir de una matriz cuadrada y que resume una propiedad esencial: si vale cero, la matriz no tiene inversa y el sistema de ecuaciones asociado carece de solución única. Si es distinto de cero, la matriz es invertible y el sistema tiene una única solución.
Geométricamente, el determinante de una matriz 2×2 es el área del paralelogramo formado por sus dos vectores fila, y el de una 3×3, el volumen del paralelepípedo que forman los tres. Un determinante nulo significa que ese área o ese volumen se han aplanado: los vectores son linealmente dependientes.
Esta calculadora resuelve matrices de orden 2 y 3, indica la traza y avisa de si la matriz tiene inversa. Es la herramienta habitual al resolver sistemas por la regla de Cramer, al estudiar el rango de una matriz o al comprobar si tres puntos del espacio son coplanarios.
Cómo se calcula el determinante de una matriz 2x2 y 3x3
Para una matriz de orden 2 la fórmula es directa: el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria.
det = a₁₁ · a₂₂ − a₁₂ · a₂₁
Con la matriz [[1, 2], [3, 4]]: 1 × 4 − 2 × 3 = 4 − 6 = −2.
Para orden 3 se aplica la regla de Sarrus, que el matemático francés Pierre Frédéric Sarrus publicó en Estrasburgo en 1833. Consiste en sumar los tres productos de las diagonales descendentes y restar los tres de las ascendentes. La forma equivalente por desarrollo de la primera fila es:
det = a₁₁(a₂₂a₃₃ − a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃ − a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ − a₂₂a₃₁)
Un ejemplo resuelto con [[2, 1, 3], [0, −1, 4], [5, 2, 1]]:
- 2 × ((−1)(1) − (4)(2)) = 2 × (−1 − 8) = −18
- −1 × ((0)(1) − (4)(5)) = −1 × (0 − 20) = +20
- +3 × ((0)(2) − (−1)(5)) = 3 × (0 + 5) = +15
La suma es −18 + 20 + 15 = 17. Como no es cero, la matriz tiene inversa.
La traza, que la calculadora muestra junto al determinante, es la suma de la diagonal principal: 2 + (−1) + 1 = 2 en este ejemplo.
Casos prácticos con determinantes
Comprobar si un sistema tiene solución única. Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se resuelve por Cramer si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Con la matriz [[5, −2], [3, 4]] el determinante es 5 × 4 − (−2) × 3 = 20 + 6 = 26, así que el sistema tiene solución única.
Detectar filas proporcionales. La matriz [[2, 4], [1, 2]] tiene la primera fila igual al doble de la segunda. Su determinante es 2 × 2 − 4 × 1 = 0: la matriz es singular y el sistema asociado tiene infinitas soluciones o ninguna.
Matrices triangulares. En [[3, 7, 2], [0, 4, 5], [0, 0, 2]], todos los elementos bajo la diagonal son cero. El determinante es el producto de la diagonal: 3 × 4 × 2 = 24. Es un atajo válido para cualquier matriz triangular, de cualquier orden.
Filas que suman una tercera. En [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]], la tercera fila es el doble de la segunda menos la primera. El determinante vale 0 y confirma la dependencia lineal, aunque a simple vista no se aprecie.
Errores comunes al calcular determinantes
- Aplicar la regla de Sarrus a matrices 4×4 o mayores. Solo es válida para orden 3. A partir de ahí hay que desarrollar por adjuntos o triangular la matriz.
- Equivocar el signo del término central. En el desarrollo por la primera fila, el segundo sumando lleva signo negativo: los signos alternan según el patrón +, −, +.
- Confundir determinante con matriz. El determinante es un número; la matriz es la tabla. Se escribe det(A) o |A|, con barras verticales en lugar de paréntesis.
- Calcular el determinante de una matriz no cuadrada. Solo está definido para matrices con el mismo número de filas que de columnas.
- Olvidar que intercambiar dos filas cambia el signo. El determinante de [[1, 2], [3, 4]] es −2 y el de [[3, 4], [1, 2]] es +2. Es una propiedad útil para verificar resultados.