Interpolación lineal: qué es y cuándo se usa
La interpolación lineal estima el valor de una variable y para un punto x situado entre dos puntos conocidos (x₁, y₁) y (x₂, y₂). Se usa en ingeniería, economía y estadística cuando se requiere predecir valores intermedios a partir de datos discretos.
Esta calculadora aplica la fórmula directa de interpolación lineal: y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) El resultado es el valor estimado y para el punto x introducido, basado en los dos puntos conocidos.
La interpolación lineal es útil cuando se dispone de datos empíricos o teóricos en intervalos regulares e irregulares. No requiere conocimientos avanzados de matemáticas y puede aplicarse a cualquier conjunto de datos bidimensionales.
Cómo se calcula la interpolación lineal: fórmula y pasos
La interpolación lineal sigue una fórmula simple que combina los dos puntos conocidos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) con el punto intermedio x para encontrar y.
- Introducir los valores conocidos: ingresar x₁, y₁, x₂, y₂ y el valor de x a interpolar.
- Calcular la pendiente:
pendiente = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
- Aplicar la fórmula de interpolación lineal:
y = y₁ + (x − x₁) × pendiente
Ejemplo 1: Supongamos que se conocen los puntos (x₁, y₁) = (2, 4) y (x₂, y₂) = (6, 8), y queremos estimar el valor de y para x = 4.
- Pendiente:
pendiente = (8 − 4) ÷ (6 − 2) = 4 ÷ 4 = 1
- Interpolación lineal:
y = 4 + (4 - 2) · 1 = 4 + 2 = 6
El valor estimado de y para x = 4 es 6.
Ejemplo 2: Con los puntos (x₁, y₁) = (1, 3) y (x₂, y₂) = (5, 9), y x = 3.
- Pendiente:
pendiente = (9 − 3) ÷ (5 − 1) = 6 ÷ 4 = 1,5
- Interpolación lineal:
y = 3 + (3 - 1) · 1.5 = 3 + 3 = 6
El valor estimado de y para x = 3 es 6.
Casos prácticos de interpolación lineal
Caso 1: Un ingeniero necesita estimar la temperatura a una profundidad intermedia entre dos mediciones conocidas.
- Puntos conocidos: (x₁, y₁) = (0, 20) y (x₂, y₂) = (10, 30).
- Punto a interpolar: x = 5.
Resultado: y = 20 + (30 − 20) ÷ (10 − 0) × (5 − 0) = 20 + 5 = 25 El valor estimado de la temperatura a x = 5 es 25.
Caso 2: Un economista predice el ingreso anual intermedio entre dos años con datos conocidos.
- Puntos conocidos: (x₁, y₁) = (2020, 30.000) y (x₂, y₂) = (2025, 40.000).
- Punto a interpolar: x = 2023.
Resultado: y = 30.000 + (40.000 − 30.000) ÷ (2025 − 2020) × (2023 − 2020) = 30.000 + 6.000 = 36.000 El valor estimado del ingreso en 2023 es 36.000 €.
Caso 3: Un científico de datos estima el valor de una variable intermedia entre dos puntos con alta variabilidad.
- Puntos conocidos: (x₁, y₁) = (1, 5) y (x₂, y₂) = (9, 20).
- Punto a interpolar: x = 4.
Resultado: y = 5 + (20 − 5) ÷ (9 − 1) × (4 − 1) = 5 + 5,625 = 10,625 El valor estimado de la variable en x = 4 es 10,625.
Errores comunes al calcular la interpolación lineal
Error 1: No verificar que el punto x esté entre x₁ y x₂.
- Corrección: Asegurarse de que x₁ < x < x₂.
Error 2: Invertir los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂).
- Corrección: Ordenar correctamente los puntos según el eje x.
Error 3: Olvidar que la interpolación lineal no es precisa para datos no lineales.
- Corrección: Usar métodos de interpolación más avanzados si los datos son altamente no lineales.